partition identities

Die Idee Leonhard Eulers, das Problem zunächst nicht in seiner größtmöglichen Breite — die Bestimmung aller möglichen Partitionen — zu lösen, zeugt von hoher Erfahrung mit solchen Situationen. Deshalb wählte er aus der Menge aller möglichen Partitionen einer Zahl durch die Vorgabe bestimmter Eigenschaften Teilmengen aus, die einer — zwar auf diese Teilmengen beschränkten — Untersuchung eher fähig waren. Dabei machte er auf verblüffende Beobachtungen, die ihrerseits ebenso verblüffend einfach zu beweisen waren. Nehmen wir das Beispiel der beiden folgenden Zerlegungen der Zahl 15:

Betrachte die linke Partition 8 + 4 + 2 + 1. Es gibt keine doppelten Summanden, jeder Summand kommt genau einmal vor.

Betrachte die rechte Partition 7 + 5 + 1 + 1 + 1. Es kommen nur ungerade Summanden vor.

Von beiden Arten Partitionen — solche mit nur verschiedenen Summanden und solche mit nur ungeraden Summanden — gibt es gleich viele, stellte Euler fest. Allgemein: eine Beziehung der Art

nennt der Mathematiker partition identity. Diese partition identities stellen Beziehungen zwischen unterschiedlichen Klassen von Partitionen dar. Partition identities liefern nicht die Anzahl selber. Gibt man sich mit der reinen partition identity nicht zufrieden, d.h. man will konkret wissen, wie viele Elemente in der Klasse liegen, dann hält auch für diese Frage der große Euler eine Antwort bereit: er entdeckte diese Anzahl als versteckte Koeffizienten von bestimmten Potenzreihen, die man aufgrund dieser Eigenschaft auch erzeugende Funktionen (generating functions) nennt.

Partition identities gibt zu Hauf, sie sind heiß umworben, gelegentlich sind sie auch Aufgaben bei anspruchsvollen Mathematikwettbewerben. (Putnam competition o.ä.)