Beyond the quartics - Galois' dream

Einzelne besondere Gebirgszüge z.B. die Alpen, der Himalaya, die Anden und viele andere sind hinsichtlich der Schwierigkeit, die ihre Besteiger zu überwinden haben, in Grade eingeteilt. Nicht die Höhe allein bestimmt diesen Schwierigkeitsgrad. Die Rupalwand des Nanga Parbat ist technisch weitaus schwieriger zu bewältigen als der benachbarte weltberühmte und gefeierte Mount Everest. Auch Verbrennungen sind in Grade eingeteilt: 1. bis 3. Grades.

Dem mathematischen Objekt Polynom hat man auch einen Grad zugeordnet. Es gibt zu jeder natürlichen Zahl unendlich viele Polynome mit dieser Zahl als Grad. In der Schule hört die Behandlung des Themas Polynome beim Grad zwei in der Regel auf. Das hat seinen guten Grund. Jeder kennt sie (oder sollte sie kennen), die sog. p-q-Formel. Mit ihr kann man jede quadratische Gleichung lösen, d.h. ein Polynom zweiten Grades in sog. Linearfaktoren zerlegen oder, was dasselbe bedeutet, seine beiden Nullstellen zu bestimmen. Bei der sog. p-q-Formel nimmt ein groß ausladendes Wurzelzeichen einen (noch nicht zu) komplizierten Formelausdruck schützend unter seine Fittiche.

Ähnlich - aber auch nur ähnlich - geht es im Falle dritten Grades zu: auch hier kann man noch (jedoch mit weitaus größerem Aufwand) allein mit Wurzelausdrücken die Lösungen angeben. – Und wie verhält es sich im Falle des vierten Grades? – Das lassen wir besser, das ist schon etwas für Spezialisten der besonderen Art.

Ob sich die Lösungen von Gleichungen höheren, ja möglichst jeden beliebig hohen Grades, allein mit Hilfe solcher Wurzelausdrücke (sog. Radikale) exakt beschreiben lassen?

Diese Frage hat die Größten der mathematischen Zunft schier verzweifeln lassen, denn zu dieser Vermutung gab es reichlich Anlass. Carl Friedrich Gauß hatte mit seiner Summa cum laude-Dissertation genau dies bewiesen: jawohl, jedes Polynom (mit rationalen Koeffizienten!) hat genau so viele (notfalls auch komplexe und/oder mehrfache) Nullstellen, wie sein Grad hoch ist. Gauß lieferte (zu allem Überfluss?) auch noch fünf weitere, wesentlich verschiedene Beweise für diese weitreichende, fundamentale Aussage. Leider war diese Leistung aber doch nur der Beweis einer Existenzaussage, also ein sog. nicht konstruktiver Beweis. Herr Gauß hatte kein konstruktives Verfahren geliefert, mit dem man diese Nullstellen tatsächlich bestimmen könnte. War also doch nicht so prickelnd, das Ganze?

Dies übernahm der (sehr) junge Franzose Evariste Galois. Ihm gelang es zu zeigen, dass – von speziellen Fällen abgesehen – es im allgemeinen nicht möglich ist, die Lösungen nur mit Hilfe von Wurzelausdrücken zu beschreiben. Also doch prickelnd. – Und wie.

Dieses Ereignis, wie auch einige mysteriöse, prickelnde und zu der abstrusen Mathematik durchaus passende Begleitumstände, waren für die weitere Entwicklung der Mathematik von geradezu richtungsweisender Bedeutung. Denn insbesondere die verwendeten Hilfsmittel wie auch die hierzu teilweise völlig neu entwickelten Methoden waren es, die einige profilierte Mathematiker geradezu das Fürchten lehrten. Ein einzigartiges Beispiel fataler Arroganz wird uns hier vor Augen geführt. Galois' Gedankenansätze und Ideen zur Lösung dieses außerordentlich schwierigen Problems waren maßgeblichen Größen der Szene derart unverständlich, geradezu abartig, daß Galois' Arbeiten hierzu zunächst einmal gesichert verschwinden sollten. Dies gehört mit zu dieser einzigartigen Story der Wissenschaftsgeschichte.

Anhand des ausgewählten Textes von Lisl Gal werden wir versuchen, die geniale Gedanken des höchstbegabten Evariste Galois zu verstehen. Auch der Norweger Niels Hendrik Abel hat mit seinen Ideen hier Pate gestanden. In diesem Jahr wurde zum ersten Mal der Internationale Niels Hendrik Abel Preis verliehen. Der Laureat ist einer der weltweit wohl renommiertesten Algebraiker, Prof. Dr. Jean Pierre Serre aus Paris, der ebenso eine maßgebliche Rolle bei der Lösung des FERMATschen Problems gespielt hat. Der Niels Hendrik Abel Preis ist die inzwischen anerkannte Alternative zum fehlenden Nobelpreis für Mathematik.