Apropos BEWEIS. Wussten Sie, dass ...

• Beweisen die höchste Form authentischer, kreativer mathematischer Betätigung ist?

• das Thema Beweisen in der Mathematik aus dem Unterrichtskanon entfernt wurde und damit der Kern allen mathematischen Tuns?

• es wie die Kunst der Improvisation (in der Musik) eine Kunst des Beweisens gibt?

• es für einige Beweise mehrere Jahrhunderte gebraucht hat, sie zu vollenden?

• der Beweis für das Klassifikationstheorem der endlichen einfachen Gruppen mehr als 10.000 Seiten erforderte?

• an diesem Beweis, der von dem Mathematiker Daniel Gorenstein in einem weltweiten Projekt im Auftrag der AMS (American Mathematical Society) organisiert wurde, mehr als 1.500 Mathematiker gearbeitet haben?

• Andrew Wiles als Alleingänger den Beweis der Fermat'schen Vermutung nach mehr als acht Jahren schließlich vollendete?

• die beiden Mathematiker Walter Feith (Cornell University) und John G. Thompson (University of Chicago) für ihren 252 Seiten langen Beweis des Feith-Thompson-Theorems die Fields-Medaille erhielten?

• das der US-amerikanische Industrielle Landon T. Clay auf die Beweise der sieben wichtigsten ungelösten Fragestellungen "Die sogenannten 'The Millennium Problems' " jeweils 1.000.000 US $ Preisgeld gesetzt hat?

• in großen Beweisen selbst nach 150 Jahren gravierende Fehler entdeckt wurden?

• C.F. Gauß in seiner Summa-cum-laude-Doktorarbeit den Fundamentalsatz der Algebra bewiesen hat und dass der Beweis dafür heute in einer Algebravorlesung als Lemma erscheint?

• C.F. Gauss denselben Satz noch weitere vier Mal bewiesen hat?

• vor wenigen Tagen der Beweis für das erste Millennium-Problem (die Poincaré- Vermutung) anerkannt wurde?

• sich der japanische Mathematiker Yutaka Taniyama aus Verzweiflung darüber, dass er die Taniyama-Shimura-Vermutung nicht beweisen konnte, das Leben nahm?

• es für das Quadratische Reziprozitätsgesetz von C.F. Gauß mehr als 150 Beweise gibt?

• täglich mehr als 100 neue mathematische Behauptungen formuliert werden?

• es bisher einen einzigen anerkannten, computergestützten Beweis gibt: den Beweis des Vier-Farben-Satzes?

• David Hilbert, der "größte Mathematiker des vergangenen Jahrhunderts", im Jahre 1900 in seinem Pariser Vortrag den berühmten Katalog der 23 mathematischen Probleme vortrug, von denen man fortan glaubte, dass keines vor Ablauf der nächsten 100 Jahre gelöst werden könne?

• mit dem heiss ersehnten Beweis der Riemann-Hypothese auf einen Schlag mehrere hundert mathematische Sätze (automatisch) als bewiesen anerkannt werden?

• dass der Österreichische Mathematiker Kurt Gödel bewies, dass es (in bestimmten Denksystemen, wie eben dem der Mathematik) unbeweisbare Sätze geben muss? (=> Das Entscheidungsproblem)

Geht es um das Thema der BEWEIS in der Mathematik, so suchen oft genug selbst eingefleischte Mathematik-Fans den Ausgang. Wenn es doch nur nicht dieses schreckliche Beweisen gäbe; dieses Klagelied hören wir inzwischen weniger, haben doch besonders um Zeitgeist bemühte Lehrplangestalter das Curriculum um die Last dieses leidigen Themas erleichtert. Jedoch gilt: ohne das, was diesen zentralen Begriff in der Mathematik ausmacht, gibt es schlechthin keine Mathematik.

Man könnte behaupten (dies zu beweisen fällt wahrlich nicht schwer), dass man Mathematik geradezu als die beweisende Wissenschaft charakterisieren kann. Das haben Mathematik und Jura übrigens in prägender Weise gemeinsam. Ebenso ist der Kalkül, dem ein Beweis folgt, in beiden Wissenschaften sehr ähnlich. Im Strafprozess handelt es sich schlicht darum, die gebotene Unschuldsvermutung sachlogisch, d.h. schlüssig zu widerlegen. Daher sind Menschen mit einer auffälligen Ambition zu beiden Wissenschaften nicht gerade selten anzutreffen. Um stellvertretend ein herausragendes Beispiel zu nennen: der exzellente französische Jurist Pierre de FERMAT genoss ob seiner mathematischen Fähigkeiten ein ebenso hohes Ansehen unter den Mathematikern, und dies bis auf den heutigen Tag. Dies ist beileibe nicht der einzige Fall!

Mit ihrem Buch Das BUCH der Beweise ist den beiden Mathematikern Martin Aigner (Freie Universität Berlin) und Günter Ziegler (Technische Universität Berlin) der Versuch gelungen, die Vision der ungarischen Mathematiklegende Paul Erdös ein Stück Wirklichkeit werden zu lassen. In dem Vorwort zu ihrem Buch schreiben sie:

..... Paul Erdös erzählte gerne von dem BUCH, in dem Gott die perfekten Beweise für mathematische Sätze aufbewahrt, dem berühmten Zitat von G. H. Hardy entsprechend, dass es für hässliche Mathematik keinen dauerhaften Platz gibt. Erdös hat auch gesagt, dass man nicht an Gott zu glauben braucht, aber dass man als Mathematiker an das BUCH glauben sollte.

Vor ein paar Jahren haben wir ihm vorgeschlagen, gemeinsam eine erste (und sehr bescheidene) Annäherung an das BUCH aufzuschreiben. Er hat die Idee enthusiastisch aufgenommen und sich, ganz typisch für ihn, sofort an die Arbeit gemacht und Seiten über Seiten mit Notizen und Vorschlägen produziert. Unser Buch sollte ursprünglich im März 1998 erscheinen, als Geschenk zu Erdös' 85stem Geburtstag. Durch seinen Tod im Sommer 1996 konnte er kein Koautor werden. Stattdessen ist dieses Buch seinem Andenken gewidmet.

Das TMSZ bietet jungen Talenten der Sekundarstufe II einen Workshop zum Thema BEWEIS in der Mathematik an. Der Workshop ist als mathematisches Proseminar gedacht, d.h. im Wechsel zwischen Plenumsphasen und Gruppen- bzw. Einzelarbeit werden geeignete Themen aus Das BUCH der Beweise behandelt. Die einzelnen Themen sind den Kapiteln

• Zahlentheorie

• Graphentheorie

• Kombinatorik

• Analysis

• Geometrie

entnommen.

Wir werden uns zunächst mit den logischen Grundlagen der Beweisführung befassen und damit die Voraussetzungen für einen gültigen Beweis kennen lernen. Anhand ausgewählter Beispiele aus Das BUCH der Beweise werden wir dann mehrere Beweisvarianten für ein und dieselbe Behauptung kennen lernen. Alle diese Beweise sind Paradebeispiele für die hohe Kunst des Beweisens. Wir werden elegante Beweise nachvollziehen wie auch raffinierte "Tricks" entdecken, die die Professionalität der jeweiligen Autoren zeigen. Wir erfahren, dass nicht nur andere diese Kunst beherrschen, sondern dass wir selbst einige hierzu geeignete Behauptungen vollendet beweisen können oder wir suchen die Fehler in Beweisen anderer. Beweisen kann man tatsächlich lernen.

Ach: wissen Sie, was die Abkürzung q.e.d. heißt und was sie bedeutet?