Eine Kette geht zu Bruch, entstanden ist - jawohl - ein ... Kettenbruch!

nicht nur

zu einer Reise in die Welt mathematischer Theorien, die uns tiefere Einblicke in unbekannte, faszinierende mathematische Zusammenhänge ermöglichen wird; ungeahnte, schlummernde Talente könnten wir dabei an uns selbst entdecken. Auf dieser Reise werden wir feststellen, dass Brüche auch Brüche brechen können; es entstehen Bäume von Brüchen mit vielen Ästen und Zweigen.

Darum geht es - Kettenbrüche! Dabei handelt es sich nicht etwa um den Bruch einer Kette, sondern um eine Kette von Brüchen. Die allgemeine Gestalt eines Kettenbruches ist unten dargestellt. Erschrecke nicht, dieser Bruch (es handelt sich in der Tat nur um einen einzigen Bruch!) sieht komplizierter aus, als er in Wirklichkeit ist. Du siehst, Kettenbrüche zeichnen sich durch einen klaren, inneren Aufbau aus. - Genau diesen Aufbau nehmen wir uns genauer vor.

Wichtig: Grundsätzlich wandeln wir Brüche nicht in Dezimalzahlen um, sondern wir lassen ihnen ihre schöne und einfache Gestalt, da bei einer Umwandlung in einen Dezimalbruch ihre klare Struktur komplett verloren ginge. Das wäre schade. Dies spricht nicht gegen die uns geläufige Darstellung von Brüchen als Dezimalzahlen. Diese ist für das praktische Rechnen mit Brüchen äußerst hilfreich. Die Darstellung von Brüchen als Kettenbrüche besitzt eine wichtige Eigenschaft: sie ist exakt, d.h. jeder Bruch lässt sich 'im Prinzip' eindeutig in einen endlichen Kettenbruch umwandeln, was man von der Darstellung von Brüchen als Dezimalzahlen leider nicht sagen kann. Zum Trost für diejenigen, die traurig sind, dass es zur Darstellung von Brüchen nur endlicher Kettenbrüche bedarf: ja, es gibt auch unendliche Kettenbrüche; jedoch stellen diese dann keine Brüche mehr dar. - 'Wieso denn das', fragst Du ? - Wenn Du das wissen willst, dann bist Du bei uns genau richtig!

Kettenbrüche - genauer gesagt ist es ihre Architektur - finden sich in zahlreichen mathematischen Kontexten wieder, in denen man sie nicht vermutet hätte.

Wir docken das Thema Kettenbrüche - nicht in dem Sinne: wo braucht man das! - an die folgenden Themen an

• KETTENBRÜCHE und der Zwei-Quadrate-Satz von FERMAT
• KETTENBRÜCHE und die Approximation irrationaler Zahlen
• KETTENBRÜCHE und die PELLsche Gleichung
• KETTENBRÜCHE und eine spezielle zahlentheoretische Problemstellung
• KETTENBRÜCHE und eine spezielle Klasse Pythagoräischer Tripel
• KETTENBRÜCHE und Lineare Diophantische Gleichungen in zwei und mehr Unbekannten
• KETTENBRÜCHE und die Klaviatur des Piano
• KETTENBRÜCHE und die Faktorisierung (großer) natürlicher Zahlen (CFRAC-Algorithmus)
• KETTENBRÜCHE und Fraktale Geometrie